La geometria e gli origami....

Cosa è un origami?

L’origami è un’antichissima tecnica di origine giapponese che insegna a piegare un foglio di carta, senza mai tagliarlo e incollarlo, per realizzare figure di varia natura e decorazioni. Un modo interessante, ma ancora poco conosciuto, per avvicinarsi alle figure geometriche fondamentali è l’origami geometrico: mediante piegature del foglio di carta, basate su proprietà di simmetria, è possibile ottenere sia figure geometriche piane (forme poligonali, stelle, tassellazioni,…) sia figure geometriche tridimensionali (cubi, poliedri, flexagoni, forme dinamiche,…) e tutto senza usare né la matita né gli strumenti della geometria. L’unica cosa che serve è infatti la carta.

Quindi il foglio di carta, pensato illimitato, rappresenterà il piano, non deformabile in maniera apprezzabile lungo la sua superficie, cioè non elastico ma deformabile perpendicolarmente alla sua superficie, per permetterne la sovrapposizione di alcune sue parti, ottenendo così quella che chiameremo piega. Dunque partendo da questi presupposti abbiamo che:

1.La traccia di una piega rappresenta un segmento rettilineo (limitatamente al foglio). Il punto risulta essere l'intersezione di due pieghe.

2. Data un piega, è possibile sovrapporre la piega a se stessa. La superficie è allora divisa in quattro angoli uguali attorno al punto di intersezione. Chiamiamo retto (R) ciascuno di questi angoli.


Dopo queste poche premesse, magari le appprofondiremo più avanti, andate al blog


Scopriamo...la geometria 2

troverete un post che si intitola Costruiamo un pentagono con un foglio di carta, provate ad eseguire la costruzione attraverso le indicazioni fornite nel podcast inserito.

Successivamente provate a realizzare la costruzione con riga e compasso, nel modo seguente:

1)Dato il segmento AB; si costruiscono la retta r, il quadrato ABCD e M punto medio del segmento AM.

2)Puntando il compasso in M, con apertura MC, si porta la circonferenza ad intersecare la retta r in H.

3)Con il compasso di apertura AH, si tracciano le circonferenze C1 e C2. Sia F il punto di intersezione delle due circonferenze.
4)Puntando in F, con apertura del compasso AB, si traccia la circonferenza C3 che interseca le due precedenti nei punti E e G.

5)I punti A, B, E, F, G sono vertici di un pentagono regolare.

Alla fine confrontate le costruzioni (quella con gli origami e quella con riga e compasso). Quali analogie e quali differenze presentano? Quasi ogni passo che fate nelle costruzioni è inerente ai teoremi a agli assiomi di geometria euclidea che conoscete...riflettete e discutiamone!

.....I podcast...

Ciao ragazzi...eccomi qua per comunicare che ho creato un nuovo blog che trovate al link:

http://www.tguarino.splinder.com/

Perché, direte, non basta già questo? L'idea è quella di comunicare tra di noi attraverso anche file audio, filmati ossia podcast. Infatti nel nuovo blog troverete solo questi strumenti in supporto ad attività spiegate in questa sede o filmati (quando è possibile!) per approfondire alcuni argomenti di geometria.
Ho già inserito un primo file audio con la procedura di un'attività.....andate a leggere il prossimo post e poi andate ad ascoltare....!

...E' arrivato il momento di un giochino

Com’è possibile trasformare la figura di sinistra in quella di destra?

Pensateci e se volete dopo andate a vedere la soluzione

....Un po' di storia

La parola geometria proviene dal greco e significa “misura della terra”. Ed Erodoto, il padre della storia, ritiene che la geometria sia nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C., per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo. D’altro canto è assodato che ancor prima altri popoli, come per es. gli Assiro-Babilonesi, ebbero spiccate cognizioni di geometria, oltre che di aritmetica.

Gli Assiro-Babilonesi abitavano in Mesopotamia, la vasta pianura che ha per confini naturali i due fiumi Tigri ed Eufrate, che attualmente si può identificare con l’Iraq. Centro della loro vita politica e culturale era l’antichissima Babilonia. Essi, profondi cultori di Astronomia, erano abbastanza progrediti nelle cognizioni geometriche.
Infatti, parallele, quadrati, triangoli, angoli retti s’incontrano fra le materie della civiltà babilonese; inoltre è certo che quei popoli della Mesopotamia erano in grado di calcolare con precisione aree di quadrati, di rettangoli, di triangoli rettangoli e persino di trapezi, mentre per determinare l’area del cerchio si servivano del valore π=3.............

Se volete saperne cliccate qui.

E adesso un lavoretto un po più lungo ma ugualmente stimolante!

WEBQUEST
Pitagora e il suo teorema: tra leggenda e storia.

Come potete veder, son qui:
a² + b² - ab
Se due triangoli sono sopra di me
Il quadrato dell'ipotenusa c'è
E se questi di sotto invece stanno
I quadrati dei cateti si hanno.

(La dimostrazione "poetica" di G. B. Airy )

Immaginate di dover allestire una mostra matematica su Pitagora e sulle varie sfaccettature del suo famosissimo teorema all’interno della vostra scuola. Dovete tener presente che una mostra per essere efficace deve attirare la curiosità del pubblico. A questo scopo occorre organizzare bene l'ingrediente principale: il materiale da esporre. Il dirigente della mostra pertanto dovrà suddividere i compiti agli esperti di storia e filosofia , ai matematici per scoprire la validità delle dimostrazioni alternative che si sono susseguite nella storia e a tecnici per la realizzazione di giochi divertenti basati su dimostrazioni del teorema con cui stimolare i visitatori.

Compito:

Ovviamente come già preannunciato, una parte della mostra dovrà riguardare la vita, il contesto storico e le sue connessioni con la filosofia di Pitagora. Il gruppo storico-letterario che si occuperà di ciò. E anche di una possibile presentazione alla mostra, ossia preparazione di cartelloni o se si pensa ad una visita guidata, una dispensino o un racconto con diapositive in cui qualcuno del gruppo racconta l’autore.

Il gruppo dei matematici, a partire dalla dimostrazione classica che sfrutta il teorema di Euclide, dovrebbe ricercare nella storia della matematica ( anche di quella recente) dimostrazioni alternative alternative del teorema di Pitagora. Queste dimostrazioni alla fine dovranno far parte di schede di approfondimento per i visitatori dei mostra, pertanto anche queste dovranno essere esposte e tutti dovrebbero avere la possibilità di consultarle. Per questa ragione sarebbe opportuno utilizzare word per la elaborazione e scrittura delle stesse.

Infine il gruppo dei tecnici (il nome non è svalutativo) si dovrà occupare di preparare dei giochetti o puzzle pitagorici, con materiale povero (colori e cartoncino, o se si riesce del compensato ma comunque materiale facilmente reperibile e poco dispendioso) basati su varie dimostrazioni del teorema. Essi devono pensare che tali puzzle servono ai visitatori per mettersi alla prova e cimentarsi nella giustificazione del risultato. Quindi i tecnici oltre che a realizzare i puzzle dovranno fornire una giustificazione dei risultati ed esporli prima dell’allestimento a tutta la classe.

Il lavoro dei tre gruppi deve essere riassemblato in vista della presentazione al direttore della mostra, questo sarà compito dell’intero comitato organizzativo.

Procedimento:

Ogni gruppo dovrà seguire la seguente sequenza di lavoro:

1. Formazione dei gruppi: il comitato organizzativo sarà costituito da nove persone a sua volta suddivise in gruppi, suddivisi per aree tematiche, di tre persone. La suddivisione dei ruoli all’interno di questi ultimi gruppi dovrà essere la seguente:

· Gruppo storici: sarà costituito da uno storico che si occuperà del contesto storico culturale in cui è vissuto Pitagora, un filosofo che dovrà ricercare i rapporti di Pitagora con la filosofia ed infine un biografo che si occuperà della vita e delle leggende che aleggiano sul nostro personaggio.

· Gruppo matematici: un esperto di informatica e ricerche sul web che si occuperà di trovare e selezionare le fonti più accreditate in cui è possibile reperire le dimostrazioni nella storia, un studioso di storia della matematica che dovrà ricercare le dimostrazioni (e selezionare quelle più interessanti) nei libri messi a disposizione nella biblioteca scolastica, infine un supervisore che dovrà controllare e mettere insieme le varie informazioni raccolte.

· Gruppo tecnico: anche in questo caso è necessario raccogliere informazioni utili allo scopo, quindi un membro dovrà cercare sul web e un altro su fonti statiche (libri) dei possibili giochi- puzzle che sfruttano il teorema, ultimo componente dovrà occuparsi di procurare il materiale e provare a realizzare i puzzle.

2. La ricerca: ciascun gruppo dovrà svolgere le ricerche necessarie per il lavoro attraverso le risorse che troverete alla fine di questo paragrafo. Esse sono suddivise per argomento e, in ordine, troverete prima i siti che potete consultare e poi gli eventuali libri a cui attingere. I componenti dei gruppi che non devono svolgere la ricerca devono comunque aiutare i compagni, in questo modo possono anche intravedere come poter svolgere il loro lavoro.

3. La sintesi: Alla fine ogni gruppo deve preparare l’esposizione ossia deve presentare il proprio lavoro. Ricordatevi che il gruppo ha bisogno della collaborazione di tutti i componenti per giungere ad un buon risultato soprattutto in questa fase.

4.

Risorse

Storia, vita e pensiero filosofico nel web:

http://cronologia.leonardo.it/storia/grek025.htm

http://www.homolaicus.com/teoria/filosofia_antica/ellenismo.htm

http://digilander.libero.it/moses/pitagora.html

….E in biblioteca:

N.Abbagnano/G.Fornero, Filosofi e Filosofie nella storia, Vol I, Torino, Paravia, 1986

Dimostrazioni nella storia sul Web:

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Gen_02/APPUNTI.HTM (sopratutto link 5/6)

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/terza/4_IL_TEO.PDF (terza fase)

http://www.liceoberchet.it/ricerche/pitagora/dimostrazioni.htm

…….E in biblioteca:

Storia della matematica C.Boyer

Giochi/puzzle sul Web:

http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/perigalpit.htm

http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/immagini/virtuale.php

…E in biblioteca:

Martin Aigner, Gunter Ziegler, Proofs from THE BOOK
Edizione italiana a cura di Alfio Quarteroni Springer, 2006

Valutazione:

Prima di una valutazione da parte del direttore della mostra, in base ai seguenti criteri che seguiranno, provate a riguardare il vostro lavoro, magari vi accorgete che qualcosa non funziona o poteva essere migliorata.....Cercate di spiegare il perché dei punti critici brevemente.

Il direttore valuterà il vostro lavoro sia in base al lavoro individuale (ciascuno con i suoi compiti e ruoli) sia in base a quello svolto dai gruppi

Valutazione individuale
Contenuti	I contenuti disciplinari sono pertinenti, corretti e giustificati. 3	I contenuti disciplinari sono pertinenti, corretti. 2	I contenuti disciplinari sono pertinenti ma a volte non corretti. 1
Uso risorse	Hai utilizzato in modo appropriato le risorse e hai svolto una rielaborazione delle stesse in modo originale e creativo. 3	Hai utilizzato in modo appropriato le risorse e hai svolto una sufficiente rielaborazione. 2	Hai utilizzato in modo appropriato le risorse e ma la rielaborazione è stata scarsa. 1
Contributi al lavoro di gruppo	Hai partecipato attivamente al lavoro del gruppo e contribuito significativamente allo sviluppo e alla produzione finale.3	Hai partecipato attivamente al lavoro del gruppo e contribuito poco allo sviluppo e alla produzione finale.2	Hai partecipato attivamente al lavoro del gruppo ma il tuo contributo alla stesura finale è stato marginale. 1
Valutazione del gruppo
Lavoro del gruppo	Tutti hanno lavorato e affrontato i conflitti molto bene. 2	Tutti hanno lavorato ma non sempre i componenti sono riusciti a risolvere i problemi. 2	Quasi tutti hanno lavorato. 1
Presentazione del lavoro finale	La vostra presentazione è accattivante ed è un ottima sintesi delle indicazioni suggerite.3	La vostra presentazione è abbastanza stimolante ma presenta delle lacune. 2	La vostra presentazione è sufficientemente accattivante ma dispersiva.1

Conclusioni

Alla fine avete realizzato almeno con la fantasia una mostra inerente alla matematica ma non solo…..Come avete fatto? Avete utilizzato sia risorse sul web che libri ma anche la fantasia e la creatività che una simile disciplina comporta. Infatti avete scoperto quanto sia importante la storia della matematica per l’evoluzione della disciplina così ostica, quanti personaggi e come Pitagora sia stato non solo matematico ma anche filosofo e soprattutto avete scoperto che il suo famoso teorema può essere ed è stato dimostrato in vari modi, con l’algebra ma anche componendo le figure e utilizzando trasformazioni isometriche. Infine avete giocato e preparato materiali per realizzare puzzle, con semplici materiali un vero e proprio laboratoriodi artigiani e matematici.

Insomma alla fine il vostro lavoro creativo fantasioso e stimolante vi possa aprire le porte alle scoperta di una matematica meno pesante, più divertente e correlata a tante altre discipline.

....E adesso si inizia!!!

(disegno base della litografia dei rettili di M. C. Escher)

Avete osservato la figura?
Provate a stamparla su un foglio....A partire dall'elemento base (un rettile) individuate tre elementi di colore diverso che abbiano un punto in comune, chiamatelo O.
Prendete adesso carta-lucido e disegnate su essa il contorno di tali figure.
Indicate con P un punto sulla prima figura che considerate, con P’ il punto della figura che segue in senso antiorario, tale che d(O,P)=d(O,P’)), e con P’’ il rispettivo punto della terza figura.
Che cosa lega queste figure e i rispettivi punti?
E se disegnassimo su un altro foglio il contorno di due rettili dello stesso colore, cosa succede?
E se i rettili sono disposti nel seguente modo?


.......fatemi avere vostre notizie!!!